14/6/2009

Aprender a demostrar (1/?)

Arturo me quiere sacar el secreto para "saber" demostrar. Así que cada vez que me pregunta "¿como aprendo a demostrar?" le respondo "demostrando..." . Mi respuesta es tonta y poco útil... pero es que no hay un método ni receta para aprender hacer una demostración matemática. Pero ¿qué es una demostración?. La respuesta depende de a quien se le pregunte (aún entre los matemáticos y no digamos entre filósofos de la ciencia..) si se le pregunta a un intuicionista (si es que todavía hay por ahi alguno) dirá que es un proceso mental... y que lo que conocemos como demostración es tan sólo un reflejo borroso de lo que en verdad es una demostración(no solo yo doy respuestas raras) si se le pregunta a un matemático "común" seguramente dirá algo como: dado un sistema axiomático S con reglas de inferencia R... etc etc una demostración es una sucesión p1, p2, p3, ... pn donde cada pi es o un axioma en S o el resultado de aplicar una regla en R... esta última definición suena muy pomposa pero creo que es la que más se acerca a lo que conocemos como demostración. Las demostraciones han sido objeto de interés entre los matemáticos tanto que hay una cosa que se llama teoría de las pruebas o de la demostración donde el objeto de estudio es una demostración... y quizá haya demostraciones sobre demostraciones... de esta área se derivan otras como demostración automática etc etc. Traduciendo: una demostración es una serie de argumentos "validos" que se derivan de cosas que damos como ciertas (la verdad la traducción apesta pero total...). En fin a pesar de que la definición no es muy complicada, hacer una demostración en general no es sencillo... si no pregunten a los alumnos de primer semestre de las carreras de Ciencias, es más a los de segundo semestre, tercer semestre....a los de noveno semestre, a los 14 avo semestre... etc. Y se supone que los de Ciencias "sabemos" demostrar... Casi todos en Ciencias al entrar a la carrera sufrimos con las demostraciones, unos se adaptan rápido pero otros no y otros se pasan a adminsitración, ingeniería, derecho... Ejemplos de demostraciones:

Probar que en todo anillo se cumple que a*0 = 0*a = 0. Una demostración empieza así .

0 = 0+0

a*0 = a(0+0) = a*0 +a*0

etc etc

Aqui el gran truco o idea es escribir 0 = 0+0 en lo cual no hay nada mágico, no se necesita ser un genio para entender esa igualdad o peor aún para saber esa igualdad, pero si a uno no se le ocurre escribir al 0 como 0+0 la demostración puede que no salga... Así que uno suele decir "a mi cuando se me hubiera ocurrido hacer semejante cosa" lo curioso es que conforme pasa el tiempo y uno HACE demostraciones se le ocuren esas cosas... Otra cosa muy curiosa es que aveces la demostración esta frente a nosotros y simplemente no la vemos, esto sucede mucho en demostraciones de geometría moderna, aveces a uno le piden "demuestra que tal ángulo es igual a este otro o que cumple tal propiedad" o cualquier otra cosa. Uno intenta trazando paralelas, trazando perpendiculares, círculos, uno llena hojas y hojas, usa teoremas etc etc y simplemente no sale, uno va con el maestro y le pide un hint, el maestro traza una recta y entonces "....sí ahí esta la demostración, tan clara como el agua..." con tan solo trazar una recta en el lugar adecuado, por lo que aveces es necesario tener cierta "inspiración" (experiencia haciendo demostaciones del tema?)... pero hay ocaciones en las que la abstracción a la que se llega es demasiada (esto es relativo porsupuesto) que uno no tiene ni idea de que es lo que se pide demostrar, ejemplo de esto sucede mucho (o almenos a mi me pasó) en álgebra moderna 1 . Había enunciados del estilo:

Si o (G) = p^n, p primo, y N != (e) es un subgrupo normal de G entonces N intersección Z es distinto de (e) donde Z es el centro de G.

La prueba no la pondré por obvias razones.... (ni siquiera el inicio)

Mi experiencia con las demostraciones no ha sido muy distinta de la mayoría, a pesar de que entré a la licenciatura sabiendo hacer demostraciones sencillas, siempre me encontré con materias en las que no se me hacia nada fácil hacer las demostraciones (análisis matemático y cálculo por ejemplo) pero lo que es un hecho es que siempre he disfrutado de intentar hacerlas y no se diga cuando me han salido. Recuerdo con agrado un examen de teoría de números, faltando pocos minutos para que se acabara el tiempo yo no "veía" la demostración y estaba desesperado pues si no sacaba buena calificación no sacaría lo que quería sacar en la materia y mientras el ayudante desesperado por irse y harto de cuidarnos nos decía "apurense pongan su nombre..." y entonces apareció la demostración frente a mi "escribeme" -me dijo- le hice caso y semanas después el ayudante me anunciaba la calificación deseada en la materia. Estoy seguro que a casi todos nos ha pasado, claro muchos son las historias en las que simplemente no se me ocurrieron...

Demostrar es casi un "arte" muy difícil de "dominar" (si es que eso existe) tanto que matemáticos destacadisismos han comentido errores graves (por ejemplo Cauchy etc) y estoy seguro de que no hay un método para aprender a hacer demostraciones. Si alguien encuentra uno pierdo mi trabajo... sin embargo uno puede tomar ciertos consejos, por ejemplo enteder de lógica, conocer resultados previos, ocupar la notación adecuada, "quedarsele viendo" (método patentado por Jefferson King maestro de Ciencias), pero sobre todo paciencia y mucho trabajo y demostrando

ga